Materi pembelajaran Kombinasi

Bentuk khusus dari permutasi adalah Kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan kemunculan diabaikan.

Urutan abc, bca, dan acb dianggap sama dan dihitung sekali kalo Kombinasi.

Misalkan …..

Ada 2 buah bola yang warnanya sama, misalnya merah semua (untuk membedakan masing-masing bola, kita namakan bola a dan bola b), dan 3 buah kotak, setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.

Hasil akhir penempatan bola a ke kotak 1 dan bola b ke kotak 2 sama saja dengan hasil akhir penempatan bola b ke kotak 1 dan bola a ke kotak 2.

Susunan yang diperoleh hanya dihitung sekali (1 cara). Hal yang sama juga dihitung pada waktu menempatkan bola a dan b ke kotak 2 dan 3, dan menempatkan bola b dan a ke kotak 2 dan 3.

Contoh 1 :

Ada berapa cara kita dapat memilih 3 dari 7 elemen himpunan A = {a,b,c,d,e,f,g}

Penyelesaian :

Jumlah cara memilih 3 dari 7 elemen himpunan adalah C(7,3) = 7!/ 3! * (7-3)! = ? yaitu himpunan {b,c,a}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d},{a,f,g},{a,e,g},{a,b,g},{b,e,g}

Contoh 2 :

Berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng tiga kali seminggu untuk sarapan pagi ?

Penyelesaian :

Bayangkan tiga kali menu nasi goreng sebagai tiga buah bola yang sama dan tujuh hari dalam seminggu sebagai 7 buah kotak. Persoalan ini sama dengan menempatkan 3 buah bola yang ke dalam 7 buah kotak. Banyaknya pengaturan jadual menu nasi goreng adalah C(7,3) = 7!/3!4! = 35 cara

Lanjutan Kombinasi …….

Contoh  :

Diantara 10 orang Kelompok Mahasiswa Manajemen Informatika (KMMI) Angkatan 2010, berapa banyak cara membentuk sebuah Tim Futsal beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga :

(a)  Mahasiswa bernama Teguh selalu termasuk di dalamnya

(b) Mahasiswa bernama Teguh tidak termasuk di dalamnya

(c)  Mahasiswa bernama Teguh selalu termasuk di dalamnya, tetapi Udin tidak

(d) Mahasiswa bernama Udin selalu termasuk di dalamnya, tetapi Teguh tidak

(e)  Mahasiswa bernama Teguh dan Udin termasuk di dalamnya

(f)   Setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama Teguh atau Udin termasuk di dalamnya

Penyelesaian :

(a)  Masukkan Teguh ke dalam Tim Futsal sehingga sekarang tersisa 9 orang mahasiswa lagi  yang masih sedih belum ke pilih Tim Futsal. Dari 9 orang ini, pilih 4 orang lagi sebagai anggota Tim Futsal. Ini dapat dilakukan dengan C(9,4) cara. Jadi ada C(9,4) = ? cara untuk membentuk Tim Futsal yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga Teguh selalu termasuk di dalamnya. (Apa yang terjadi seandainya Teguh tidak termasuk di dalamnya…?)

(b) Keluarkan Teguh dari KMTI tersebut, sehingga sekarang tersisa 9 orang mahasiswa lagi  yang masih sedih belum ke pilih Tim Futsal . Dari 9 orang KMTI ini, pilih 5 orang sebagai anggota Tim Futsal. Ini dapat dilakukan dengan C(9,5) cara. Jadi ada C(9,5) =126 cara untuk membentuk Tim Futsal yang beranggotan 5 orang sedemikian sehingga Teguh tidak termasuk di dalamnya.

(c)  Keluarkan Udin dari KMTI (tersisa 9 orang). Masukkan Teguh ke dalam Tim Futsal (tersisa 8 orang lagi). Dari 8 orang ini, pilih 4 orang lagi sebagai Tim Futsal. Ini dapat dilakukan dengan C(8,4) cara. Jadi ada C(8,4) = 70 cara untuk membentuk Tim Futsal yang beranggotan 5 orang sedemikian sehingga Teguh termasuk di dalam tetapi Udin tidak (KCDU)

(d) Dengan cara yang sama seperti jawaban (c) terdapat C(8,3) = 70 cara untuk membentuk Tim Futsal yang beranggotan 5 orang sedemikian sehingga Udin termasuk di dalamnya tetapi Teguh tidak

(e)  Masukkan A dan B ke dalam Tim Futsal sehingga sekarang tersisa 8 orang KMTI. Dari 8 orang ini, pilih 3 orang lagi sebagai Tim Futsal. Ini dapat dilakukan dengan C(8,3) cara. Jadi ada C(8,3) = 56 cara untuk membentuk Tim Futsal yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga Teguh dan Udin selalu termasuk di dalamnya (Ini baru namanya adil untuk Teguh dan Udih…..)

(f)   Jumlah membentuk Tim Futsal sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari Teguh dan Udin termasuk di dalamnya

=     jumlah cara membentuk Tim Futsal sehingga Teguh termasuk di dalamnya, Udin tidak + jumlah cara membentuk Tim Futsal sehingga Udin termasuk di dalamnya, Teguh tidak + jumlah cara membentuk Tim Futsal sehingga Teguh dan Udin termasuk di dalamnya.

=    70 + 70 + 56 = 196

Contoh 4 :

Sebuah klub beranggotakan 8 pria dan 10 wanita. Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 6 orang dengan jumlah wanita lebih banyak daripada pria (Sejak dulu ….. Pria dijajah wanita …..)?

Penyelesaian :

Panitia : 6 orang, jumlah wanita lebih banyak daripada jumlah pria

Panitia terdiri dari 5 wanita, 1 pria à dapat dibentuk dengan C(10,5) x C(8,1)

Panitia terdiri dari 4 wanita, 2 pria à dapat dibentuk dengan C(10,4) x C(8,2)

Panitia terdiri dari 6 wanita, 0 pria à dapat dibentuk dengan C(10,6) x C(8,0)

Jumlah cara pembentukkan panitia seluruhnya = C(10,5) x C(8,1) + C(10,4) x C(8,2) + C(10,6) x C(8,0)

Contoh 5 :

Tiga buah apartemen A,B dan C disewakan untuk mahasiswa MI Angkatan 2010 STIKOM POLTEK CIREBON. Tiap unit apartemen dapat menampung 3 atau 4 mahasiswa. Berapa jumlah cara menyewakan apartemen kepada 10 orang mahasiswa ?

Penyelesaian :

(i)                Misalkan apartemen A, B dan C ditempati masing-masing oleh 4,3 dan 3 orang mahasiswa, so….jumlah cara menyewakan = C(10,4) x C(6,3) x C(3,3)

(ii)              Andaikan apartemen A,B dan C ditempati masing-masing oleh 3,4 dan 3 orang mahasiswa, so….jumlah cara menyewakan = C(10,3) x C(7,4) x C(3,3)

(iii)            Andaikan apartemen A,B, dan C ditempati masing-masing 3,3 dan 4 orang mahasiswa, so…..jumlah cara menyewakan = C(10,3) x C(7,3) x C(4,4)

Maka Jawaaaabannya…total seluruh cara menyewakan adalah :

= C(10,4)xC(6,3)Xc(3,3) + C(10,3)xC(7,4) Xc(3,3) + C(10,3)xC(7,3) Xc(4,4)

……berapa tuh…..??

Bonus :

Tiga buah apartemen Macan, Singa dan Harimau disewakan untuk mahasiswa SI Angkatan 2010 STIKOM POLTEK CIREBON. Tiap unit apartemen dapat menampung 5 atau 6 mahasiswa. Berapa jumlah cara menyewakan apartemen kepada 12 orang mahasiswa ?

Latihan :

1.  Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita, jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita ?

Penyelesaian :

Jumlah wanita di dalam panitia : 2, 3, 4, atau 5

Pilih 2 orang dari 5 wanita

            Ada C(5,2) cara; sisanya 3 orang dipilih dari 7 pria = C(7,3) cara

Pilih 3 orang dari 5 wanita

            Ada C(5,3) cara; sisanya 2 orang dipilih dari 7 pria = C(7,2) cara

Pilih 4 orang dari 5 wanita

            Ada C(5,4) cara; sisanya 1 orang dipilih dari 7 pria = C(7,1) cara

Pilih 5 orang dari 5 wanita

            Ada C(5,5) cara; sisanya 0 orang dipilih dari 7 pria = C(7,0) cara

2.            Ada 5 orang mahasiswa Jurusan Sistem informasi dan 7 orang mahasiswa Jurusan Teknik Informatika. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika :

(a)  Tidak ada batasan jurusan

(b) Semua anggota panitia harus dari Jurusan Sistem Informasi

(c)  Semua anggota panitia harus dari Jurusan Teknik Informatika

(d) Semua anggota panitia harus dari Jurusan yang sama

(e)  2 orang mahasiswa per Jurusan harus mewakili

Penyelesaian :

(a)  C(12,4)

(b) C(5,4) x C(7,0)

(c)  C(7,4) x C(5,0)

(d) C(5,4) x C(7,0) + C(7,4) C(5,0)

(e)  C(5,2) x C(7,2)