Materi pembelajran Permutasi

Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.

Langsung aja ya ke contoh :

Misalkan ada tiga buah bola yang berbeda warnanya, yaitu merah (m), biru (b) dan putih (p). Kita akan memasukkan ketiga buah bola itu ke dalam tiga buah kotak, masing-masing kotak 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?

Penyelesaian :

Kemungkinan urutan berbeda dari penempatan bola ke dalam tiga buah kotak ada enam buah, yaitu mbp, mpb, bmp, bpm, pmb, dan pbm. Semua urutan berbeda tersebut dinamakan Permutasi.

Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah :

          N(n-1)(n-2) … (2)(1) = n!

Sekarang misalkan ada enam buah bola yang berbeda warnanya, yaitu merah (m), biru (b), putih (p), hijau (h), kuning (k), dan jingga (j). Kita akan memasukkan keenam buah bola itu ke dalam tiga buah kotak, masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?

Perhitungannya adalah sebagai berikut :

Kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 pilihan);

Kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan);

Kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan).

Menurut kaidah perkalian, jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120 buah

Maka dari rumus di atas, jumlah cara memasukkan 6 buah bola yang berbeda warnanya ke dalam 3 buah kotak adalah P(6,3) = 6! / (6-3)! = 120 cara.

Contoh 1 :

Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “PERSIB” ?

BISREP

BSIREP

BSIPER

BREPSI

ISREPB

Penyelesaian :

Anggap setiap huruf di dalam kata “PERSIB” sebagai bola yang berbeda warnanya, dan 6 buah kotak yang akan diisi dengan 1 bola pada setiap kotak.

          Cara 1: (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 buah kata

                            

          Cara 2: P(6,6) = 6! = 720 buah kata

Contoh 2 :

Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa ?

Penyelesaian :

Analogikan dengan mengisi 25 kotak dengan 25 bola berbeda, setiap kotak diisi dengan 1 bola.

So…jumlah cara pengurutan nama mahasiswa sama dengan jumlah susunan 25 bola ke dalam 25 kotak, yaitu P(25,25) = 25! ….emmmm…….berapa yach….

                                   

Contoh 3 :

Tiga buah ujian dilakukan dalam suatu periode enam hari (senin sampai sabtu). Berapa banyak pengaturan jadual yang dapat dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama.

Penyelesaian :

Cara 1 (dengan kaidah perkalian) : sama seperti menempatkan 3 bola (ujian) berbeda ke dalam enam kotak (hari).

Ujian pertama dapat ditempatkan pada salah satu dari enam hari

Ujian kedua dapat ditempatkan pada salah satu dari lima hari

Ujian ketiga dapat ditempatkan pada salah satu dari empat hari

Maka jumlah pengaturan jadual ujian = (6)(5)(4) = 120 cara pengaturan

Cara 2 (dengan rumus permutasi) : P(6,3) = 6! / (6-3)! = 120 cara pengaturan

Contoh 4 :

Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun per baris. Tiap baris terdiri dari 6 tempat kursi. Jika dua orang akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris ?

Penyelesaian :

Orang pertama mempunyai 6 pilihan kursi, dan orang kedua mempunyai 5 pilihan kursi. Jadi jumlah pengaturan tempat duduk = (6)(5) = 30 atau P(6,2) = 6! / 4! = (6)(5) = 30 cara

Contoh 5 :

Berapa banyak kata yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula ?

Penyelesaian :

Ada P(26,4) cara mengisi posisi 4 huruf dan P(10,3) cara untuk mengisi posisi 3 buah angka.

Karena kata disusun oleh 4 huruf dan 3 angka, maka jumlah kata yang dapat dibuat adalah P(26,4) x P(10,3) = 258.336.000